Teoria operatorów a asymptotyka rozwiązań równań nieliniowych
prof. Yuri Tomilov
Instytut Matematyczny PAN

W trakcie wykładu, opowiem o nowym abstrakcyjnym podejściu do badania wzrostu norm rozwiązań półlinowych równań ewolucyjnych postaci

x′(t) = Ax(t) + K(x(t)), t ­ ≥ 0,

gdzie A jest generatorem mocno ciągłej półgrupy operatorowej na przestrzeni Banacha X, a K jest odwzorowaniem zwartym na X, na ogół, nieliniowym. Podejście to pozwala traktować powyższe równanie jako równanie liniowe, a zatem pozwala uzyskać jakościowo nowe wyniki dotyczące globalnego zachowania jego rozwiązań. W szczególności, prowadzi ono do szeregu ciekawych zastosowań, dotyczących zachowania energii zaburzonych układów falowych na rozmaitościach.

Martyngały i mnożniki Fourierowskie
prof. Adam Osękowski
Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego

Nierówności dla całek singularnych i mnożników Fourierowskich odgrywają ważną rolę w analizie harmonicznej i jej zastosowaniach. Na przykład, oszacowania dla transformat Riesza drugiego rzędu pociągają za sobą ciekawe rezultaty w teorii potencjału, podczas gdy nierówności dla operatora Beurlinga-Ahlforsa (zespolonej transformaty Hilberta) posiadają głębokie i daleko idące konsekwencje w teorii przekształceń kwazikonforemnych. Z punktu widzenia zastosowań, interesującym zagadnieniem jest uzyskanie optymalnych, bądź prawie-optymalnych oszacowań; lepsze stałe często prowadzą do znacznie silniejszych wyników.
Celem odczytu będzie przedstawienie jednolitego podejścia do szerokiej klasy mnożników Fourierowskich za pomocą metod probabilistycznych. Dokładniej, pokażemy, w jaki sposób pewna klasa optymalnych oszacowań martyngałowych prowadzi do odpowiednich wersji w analizie. Przedyskutujemy także ogólne metody - interesujące same w sobie, posiadające związki z innymi działami matematyki - które pozwalają uzyskiwać wspomniane wyżej nierówności probabilistyczne.

Stabilność własności Fredholma operatorów na skalach interpolacyjnych
prof. Mieczysław Mastyło 
Uniwersytet im. Adama Mickiewicza, Poznań

Przedstawimy przegląd ostatnich wyników dotyczących stabilności własności Fredholma dla operatorów działających pomiędzy przestrzeniami interpolacyjnymi. Podajemy ogólne podejście do twierdzeń o kompatybilności, a także wykazujemy, że metody te mają zastosowanie do skal generowanych przez abstrakcyjne funktory interpolacyjne. Kluczowy wynik głosi, że interpolowane izomorfizmy spełniają właściwość jedynej lokalnej odwracalności. Uzyskane rezultaty rozszerzają dotychczasowe wyniki, w szczególności wzmacniają słynne twierdzenie Shneiberg’a dotyczące interpolacji operatorów Fredholma metodą Calderóna.